domingo, 27 de mayo de 2012

2.2 Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento, simbología, unión, intersección, diagramas de Venn

*Definición de Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio o cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.

Experimento {Lanzar un dado}, E={1,2,3,4,5,6}

Experimento {Lanzar una moneda}, E={Cara, Cruz}



*Definición de evento o sucesos**


La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, formalmente evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.
Decimos que un suceso se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles. 

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

*Simbología, uniones e intersecciones.**


1. A, B, C…=conjuntos.
2. a ,b ,c…=elementos de conjuntos
3. U=unión de conjuntos
4. ∩=intersección de conjuntos
5. A‟= complemento de un conjunto
6. / =dado que

7. \ diferencia

8. <>=diferente de
9. ( )=Conjunto nulo o vacio
10. R= conjunto de los números reales
11. N= conjunto de los números naturales
12. C= conjunto de los números complejos
13. n!= factorial de un numero entero positivo
14. Q= conjunto de los números fraccionarios
15. I= conjunto de los números irracionales
16. c= subconjuntos { }= llaves. Conjuntos vacíos Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A U B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A& cap.  B.

Si A y B no tienen ningún elemento común se denominan conjuntos disjuntos ya que su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Ø. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A U B = {2, 4, 6, 8, 10}, A U C = {2, 4, 6, 10,14,
16, 26}, A ∩ B = {4, 6} y A ∩ C = Ø.

*Diagrama de venn**

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la  unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.  

Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Veen.

Diagrama de la intersección de dos conjuntos.

En teoría la intersección  de dos conjuntos podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe(Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los impares) . Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación.


La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.
En matemáticas la intersección se representa A∩B.

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento común)
En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se representa: Ø.

Diagrama  de la unión de dos conjuntos.
En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente.


La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.


Diagrama del complementario de un conjunto.
En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama.El conjunto U es el universal(parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de  un conjunto se representa Ac.

Diagrama de la diferencia de conjuntos.
La diferencia B - A es la parte de B que no está en A.La diferencia de conjuntos en matemáticas se expresa B\A, para este caso.
Diagrama de la inclusión de conjuntos.En el diagrama se puede observar como el conjunto B esta contenido (o incluido) en el conjunto A. Esto matemáticamente se expresa BÌA.
Con estos diagramas se pueden representar la gran mayoría de las operaciones con conjuntos. Pero, las aquí expuestas son las fundamentales a partir de ellas se obtienen las demás.

2.1 Teoría elemental de probabilidad


El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la incertidumbre del resultado, esto significa que es imposible predecir los resultados porque hay más de uno posible.

Son ejemplos de experimentos aleatorios: lanzar un dado cinco veces, los instantes de llegadas a un abarrote, etc.

El término de probabilidad es de uso común, así el ente televisivo, el cual nos dirá que es poco probable un cambio brusco de temperatura ó un periódico informará que es muy probable que el Real Madrid gane en su campo a Las Palmas.

Este tipo de información es insuficiente cuando se necesita un conocimiento más profundo de un fenómeno aleatorio, Supongamos que una compañía de seguros va a extender una póliza por seguro de vida a un cliente. 

Este es el objetivo del Cálculo de Probabilidades, medir probabilidades relacionadas con cierto fenómeno aleatorio dado. Medir significa asignar a cada probabilidad un número determinado, esto nos permitiría obtener un conocimiento más preciso del fenómeno.

*Concepto Clásico De Probabilidad*
También conocido como probabilidad a priori. “Si para un evento  A  hay  resultados igualmente probables, de las cuales f son del tipo que nos interesa, la probabilidad de que ocurra un resultado de este tipo es:
                                                            P(a)=f / n


1.7 Teorema del Binomio


*CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO *
El teorema del binomio, también llamado binomio de  Newton, expresa la enésima  potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio  ( a + b)^n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas
aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO 
Sea un binomio de la forma (a +b).

Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias: 

De lo anterior, se aprecia que:

a) El desarrollo de (a + b)^n tiene  n +1 términos.
b) Las potencias de  a empiezan con  n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último.
c) Las potencias de  b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta  n en el último.
d) Para cada término la suma de los exponentes de  a y  b es  n .
e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es  n . 
f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de  a dividido entre el número que indica el orden de ese término. 
g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

Ejemplo.
Obtener el desarrollo de 2( x −5y)^4

Solución
Haciendo a = 2 x y b = −5y
Aplicando la fórmula se tiene:







1.6 Diagrama de Árbol

Conceptos
A) Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerare todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede en un numero finito de maneras. 

B)Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:
1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden
estar los pacientes de este médico?                          

                                                                                 


2) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.




Solución:










1.5 Combinaciones


Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

COMBINACIONES.
Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:
Cr= Combinaciones de    objetos tomados de entre  n objetos

Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles?

Solución: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que.

n = 9
r = 6

de manera que

Ejemplos:
2)      a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

Solución:
a. n = 14,  r = 5

                                           14C= 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!
                                         = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
                                         = 2002 grupos





sábado, 26 de mayo de 2012

1.4 Permutaciones

Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.


Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Para obtener las fórmulas de permutaciones y combinaciones tenemos que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.

La fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
Donde n=objetos y r=posiciones

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.
n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n

Ejemplo.10!=3, 628,800
8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320
6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720 

Ejemplo: tenemos 6 envases distintos y sólo 4 posiciones para acomodarlos. Los en bases deberán ser tomados de 4 en 4.1
6P4= 6! / (6-4)! = 720 / 2 = 360 



1.3 Notación Factorial

Se usa la notación n! para denotar el producto de los enteros positivos desde 1 hasta n.

1)      N!  1 x 2 x 3 x………………… x n
 2)      0! =1
3)      1!=1
4)      N!=(n-1)! x n

Notación factorial: es el producto de n entero positivo hasta 1.
n! =n (n-1)*(n-2)*(n-3)*«.*3*2*1

En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.

Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta 1 y se define como:

4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee cuatro factorial
3 x 2 x 1 = 3! Se lee tres factorial
En términos generales: (n-1)(n-2)«x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial”

 Ejemplo 1
 Hallar 6!
 Solución: 6!=1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =720,
Así, 6!=720.

Ejemplo 2
Descomponer 10!
Solución:10! = 10 x 9! o también puede ser 
10! = 10 x 9 x 8! o también
10! = 10 x 9 x 8 x 7! y así sucesivamente.          




1.2 Principio multiplicativo

Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B

Son independientes 
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B 

Son dependientes 
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B 

Son dependientes 
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; 

N 1x N 2x..........x N r maneras o formas 

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. 

Ejemplos: 


1)Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento),mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? 

Solución: 
Considerando que r = 4 pasos 

N1= maneras de hacer cimientos = 2 
N2= maneras de construir paredes = 3 
N3= maneras de hacer techos = 2 
N4= maneras de hacer acabados = 1 

N1x N2x N3x N4= 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa 

1.1. Principio aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplo:

1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
 N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

2) Un estudiante que está terminando su bachillerato, debe decidir si estudia en el Tecnológico o en la Universidad. Si decide estudiar en el Tecnológico, tendrá que decidir si estudia Ing en Sistemas Computacionales, Ing Mecánica o Ing Electrónica. Si decide estudiar en la Universidad, tendrá que decidir si estudia Ing Civil, Ing Mecatrónica, Ing Química o Licenciado en Física. ¿Cuántas opciones tiene para elegir su carrera?

Solución: Si decide estudiar en el Tecnológico, tendrá 3 opciones, pero si decide estudiar en la Universidad, tendrá 4 opciones.

 Aplicando el Principio Aditivo, obtenemos 3 + 4 = 7 opciones, considerando que no puede estudiar 2 carreras al mismo tiempo.

¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.